Derivacion implicita

Por: Samuel Nuñez

Estudiante de Ingenieria Industrial

Materia: Calculo diferencial

1.- Conocimiento personal.

a) Ideas aprendidas.

Ya desde el simple hecho de ver como esta formulada la ecuacion empezamos a notar diferencias en su formulacion.

En este caso y a diferencia de las ecuaciones algebraicas, trigonometricas y de orden superior la Y no esta despejada por lo que el proposito origina sera este.

B) Lo que se me dificulto

Ya se me ha facilitado mas el determinar con que regla puedo comenzar a despejar la Y, sin embargo aun se me complica al momento de simplificar el resultado, que por lo que observe es unos de los procesos mas importantes ya que el simplificar significa que algunos terminos pasaran al otro lado de la ecuacion lo que cambiara su signo de positivo a negativo y vicebersa.

Por lo que sigo teniendo la necesidad de analizar bien este tipo de cambio ademas de diferenciar cuales terminos por estar multiplicando pasaran a division.

2. Conocimiento consultado.

La derivación implícita es una técnica que se aplica a funciones definidas implícitamente, esto es a funciones definidas por una ecuación en que la variable “y” no está despejada. La ventaja de este método es que no requiere despejar la variable “y” para encontrar la derivada. Como hemos visto en los ejemplos revisados para conseguir la derivada implícita de “y” con respecto de “x”. Primero se deben derivar ambos miembros de la ecuación con respecto a x tomando en cuenta en todo momento que, y es función de x, y por consiguiente al tener que derivar y con respecto a x, hay que aplicar la regla de la cadena. Finalmente, se debe despejar dy/dx.

Además, de la derivación implícita en esta sesión también abordaremos el tema de las derivadas de orden superior. El interés de realizar derivaciones de orden superior se debe a que la derivada es una herramienta matemática muy versátil que permite evaluar el cambio en una función, y su aplicación depende mucho de las interpretaciones que se hagan de sus resultados. Muchos problemas requieren de la estimación de múltiples derivadas sucesivas.

Es importante destacar que esta sesión constituye el cierre de las estrategias ligadas a las reglas de derivación de funciones. En la última sesión del curso nos estaremos enfocando en la aplicación de las derivadas a la solución de problemas ligados con diversas áreas de conocimiento que van desde la geometría y la física hasta la economía.

Sin más preámbulo demos inicio al estudio de la derivación implícita y a la estimación de las derivadas de orden superior.

¡Mucho éxito!

Desarrollo del tema

Hay funciones que se presentan de forma explícita, es decir, donde la variable “y” está escrita en función de la variable “x”.

Ejemplos:

Sin embargo, hay otras funciones que no pueden ser planteadas de tal manera que la variable “y” quede escrita en función únicamente de la variable “x”.

Ejemplos:

En algunos textos, se establece que una función implícita es una relación que se expresa en términos de x y y por ejemplo:

A fin de derivar este tipo de funciones se tienen que derivar término a término los elementos de la igualdad respecto a la variable que se indica y al final se despeja la derivada.

Ejemplo 1: Determina la derivada de la siguiente función implícita.

Ejemplo 2: Determina la derivada de la siguiente función implícita.

cos⁡(x+y) = sen(x-y)

Se derivan ambos miembros de la igualdad:

Derivadas de orden superior:

Las derivadas de orden superior de una función se obtienen al derivar ésta, tantas veces como lo indique el orden de la derivada requerida.
La derivada de una función se llama primera derivada y se representa de la siguiente manera: