Continuidad de una funcion

Por: Samuel Nuñez

Estudiante de Ingenieria Industrial

Materia: Calculo diferencial

1.- Conocimiento personal.

a) Ideas aprendidas.

Hablar de continuida de una funcion es entender aun mas acerca de la forma en que se reflejara la grafica de una funcion y la inportancia de encontrar adecuadamente el valor de Y como resultado de la ecuacion.

Ah diferencia del tema de teorema de limites cuando hablamos de continuidad de una funcion se trata de identificar si el resultado de la funcion sera continua o discontinua.

Una de las definciones que se nos explico fue que una funcion f(x) es continua en el punto x----a si cumple tres condiciones

1) Que el punto x---a tenga imagen.

2) Que exista el limite de la funcion en el punto.

3) Que la imagen, el punto coincida con el limite de la funcion en el punto.

En esta clase se entendio aun mas acerca del papel del dominio (x) y el rango (y) dentro de la grafica.

b) Aquello que se me dificulto.

Aunque en terminos generales no fue un tema que parezca muy complicado creo que el tema de prestar atencion a los signos (+ y - ) al igual que en cualquier solucion de ecuaciones sigue siendo algo en lo que debo seguir prestando atencion.

2. Conocimiento consultado.

En matemáticas, la continuidad de una función es una propiedad fundamental que describe cómo se comporta la función en relación con los valores cercanos de su dominio. Así, una función se considera continua si no presenta saltos, puntos indefinidos o discontinuidades en su gráfica.

Más formalmente, una función f(x) se dice continua en un punto “a” si se cumplen tres condiciones:

El límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” existe, es decir, los limites laterales en el punto “a” coinciden.

El valor de f(a) está definido.

El límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” es igual a f(a).

Simplificando, una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz, es decir, no tiene agujeros, saltos o interrupciones. Esto implica que la función no tiene discontinuidades abruptas en su gráfica y que los valores de la función se acercan gradualmente a medida que los valores de x se acercan.

¿Cuál es la relación entre el dominio y la continuidad de una función?

¿Cómo obtener la continuidad de una función?

El dominio de una función y su continuidad están estrechamente relacionados, pues para que una función sea continua en un punto, ese punto debe pertenecer al dominio de la función. Si un punto está excluido del dominio de la funcion, no se puede evaluar y, por lo tanto, no tiene sentido hablar de su continuidad en ese punto.

Para determinar la continuidad de una función en un punto “a”, puedes seguir los siguientes pasos:

Verificar si la función está definida en el punto de interés: Comprueba si el valor de x en el punto dado está dentro del dominio de la función. Si la función no está definida en ese punto, no se puede hablar de continuidad en ese punto.

Evaluar los límites laterales: Calcula el límite de la función cuando x se aproxima al punto de interés desde la izquierda y desde la derecha. Si ambos límites laterales existen y son iguales, es decir, si los límites laterales coinciden, se cumple la primera condición para la continuidad.

Evaluar el valor de la función en el punto: Comprueba si el valor de la función en el punto de interés está definido. Si no está definido, la función no es continua en ese punto.

Comparar el límite con el valor de la función: Verifica si el límite de la función cuando x se acerca al punto de interés es igual al valor de la función en ese punto. Si ambos valores coinciden, se cumple la tercera condición para la continuidad.

Si todos estos pasos se cumplen, entonces la función es continua en el punto “a”.

Para determinar si la función es continua en todo su dominio, debes repetir estos pasos para cada punto dentro del dominio. Como estudiar la continuidad en infinitos puntos es materialmente imposible, para estudiar la continuidad en el dominio de una función debemos aprender reglas para las diferentes funciones para saber directamente en qué puntos podemos o no encontrar discontinuidades, y estudiar solo estos puntos.