Cambio de variable

- febrero 04, 2025

Cambio de variable

Samuel Nuñez

Calculo integral

1.- Conocimiento personal.

a) Ideas aprendidas.

Por lo que vimos en la clase de este tema, hay algunas integrales que son mucho mas complicadas de resolver por los métodos o reglas conocidas e incluso en algunos no seria posible su solución a no ser que se emplee el uso del método ¨cambio de variable¨.

B) Lo que se me dificulto

Creo que cuando se trata de desmenuzar aun mas a fondo la integral para llegar a obtener una derivada que coincida con la función a la que queremos llegar, ya que en algunos casos es suficiente con intercambiar valores y derivar, en otros casos se alcanza a apreciar que solo requiere simplificar aun mas el resultado dividiendo pero en otros casos mas complicado como el ejemplo que dio el profesor en clase se requiere optar por mas métodos o formas de integrar para obtener su resultado.

2. Conocimiento consultado.

Método de sustitución

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

$\text{[math]}$

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

$\text{[math]}$

1 Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

2Se sutituye la diferencial en la integral:

$\text{[math]}$

3 Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

$\text{[math]}$

4 Se vuelve a la variable inicial:

$\text{[math]}$

Ejemplo: Resuelve empleando integración por cambio de variable, la integral

$\text{[math]}$

1 Realizamos el cambio de variable

$\text{[math]}$

Calculamos la diferencial

$\text{[math]}$

2Sustituimos en la integral y simplificamos el integrando

$\text{[math]}$

3Resolvemos la nueva integral

$\text{[math]}$

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Así la solución buscada es

$\text{[math]}$

Cambios de variables usuales

A continuación enumeramos algunos de los cambios de variables empleados par resolver integrales

1 $\text{[math]}$

2 $\text{[math]}$

3 $\text{[math]}$

4 $\text{[math]}$

5 En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal $\text{[math]}$ , el cambio de variable es $\text{[math]}$ elevado al mínimo común múltiplo de los índices.