Aplicaciones de la integración

Samuel Nuñez

         Calculo integral

1.- Conocimiento personal.

a) Ideas aprendidas.

  En esta ocasiones y tras haber analizado varios videos durante el ejercicio de este blog cai en cuenta que para fines de esta clase, el profesor se baso en el calculo de área pero entre dos gráficos o entre dos curvas en lugar de solo una curva donde se aprendió a como hallar el área encontrada en la región limitada por esas funciones.

Se aprendió que al final lo que requerimos conocer es la cantidad de unidades cuadradas que conforman ese espacio entre las dos graficas o resultados de graficas que comúnmente se conoce como area.

B) Lo que se me dificulto

                Lo que puedo decir en este apartado como lo mas complicado para mi fue el como identificar cual es la grafica superior o cual es la grafica inferior, aunque también nos comento el profesor que podemos utilizar el método de tabla donde asignamos un valor a la x para encontrar el valor y y de esa formar encontrar los valores o puntos por donde pasaría la grafica, pero aun estoy en proceso de dominar ese tema y espero en las próximas clases o practicas poder lograrlo.

2. Conocimiento consultado.

En Introducción a la integración, desarrollamos el concepto de integral definida para calcular el área bajo una curva en un intervalo dado. En esta sección, ampliaremos esa idea para calcular el área de regiones más complejas. Empezaremos por encontrar el área entre dos curvas que son funciones de 𝑥,$$ empezando por el caso simple en el que un valor de la función es siempre mayor que el otro. A continuación, se estudian los casos en los que los gráficos de las funciones se intersecan. Por último, consideraremos cómo calcular el área entre dos curvas que son funciones de 𝑦.$$

Área de una región entre dos curvas

Supongamos que 𝑓(𝑥)$$ y 𝑔(𝑥)$$ son funciones continuas sobre un intervalo [𝑎,𝑏]$$ de manera que 𝑓(𝑥)≥𝑔(𝑥)$$sobre [𝑎,𝑏].$$ Queremos hallar el área entre los gráficos de las funciones, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 6.2 El área entre los gráficos de dos funciones, 𝑓(𝑥)$$ y 𝑔(𝑥),$$ en el intervalo [𝑎,𝑏].$$

Al igual que antes, vamos a dividir el intervalo en el eje 𝑥$$ y aproximaremos el área entre los gráficos de las funciones con rectángulos. Entonces, para 𝑖=0,1,2,…,𝑛,$$ supongamos que 𝑃={𝑥𝑖}$$ es una partición regular de [𝑎,𝑏].$$ Luego, para 𝑖=1,2,…,𝑛,$$ elija un punto 𝑥∗𝑖∈[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖],$$ y en cada intervalo [𝑥𝑖−1,𝑥𝑖]$$ construya un rectángulo que se extienda verticalmente desde 𝑔(𝑥∗𝑖)$$ al 𝑓(𝑥∗𝑖).$$ La Figura 6.3(a) muestra los rectángulos cuando 𝑥∗𝑖$$ se selecciona para ser el punto extremo izquierdo del intervalo y 𝑛=10.$$ La Figura 6.3(b) muestra en detalle un rectángulo representativo.

Figura 6.3 (a)Podemos aproximar el área entre los gráficos de dos funciones, 𝑓(𝑥)$$ y 𝑔(𝑥),$$ con rectángulos. (b) El área de un rectángulo típico va de una curva a la otra.

La altura de cada rectángulo individual es 𝑓(𝑥∗𝑖)−𝑔(𝑥∗𝑖)$$ y la anchura de cada rectángulo es Δ𝑥.$$ Al sumar las áreas de todos los rectángulos, vemos que el área entre las curvas se aproxima por

𝐴≈∑𝑖=1𝑛[𝑓(𝑥∗𝑖)−𝑔(𝑥∗𝑖)]Δ𝑥.$$$$

Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomamos el límite como 𝑛→∞$$ y obtenemos

𝐴=lím𝑛→∞∑𝑖=1𝑛[𝑓(𝑥∗𝑖)−𝑔(𝑥∗𝑖)]Δ𝑥=∫𝑏𝑎[𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)]𝑑𝑥.$$$$

Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema.

3.- Imagen

       

                             

4. Videos

5.- Referencias

Conocimiento consultado: Calculo de area entre dos curvas

            https://openstax.org/books/cálculo-volumen-1/pages/6-1-areas-entre-curvas

Imagenes:

                 https://www.google.com/url?sa=i&url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DUpL0RTYI47k&psig=AOvVaw2xcImq_Hh2PsQ9OwNEc700&ust=1740195821966000&source=images&cd=vfe&opi=89978449&ved=0CBQQjRxqFwoTCLCPxOPs04sDFQAAAAAdAAAAABAh