La integral definida

Samuel Nuñez

         Calculo integral

1.- Conocimiento personal.

a) Ideas aprendidas.

    En comparacion con el tema anterior se me facilito aun mas la comprension del procedimiento utilizado en este tema.

entiendo que el objetivo de la integral definida es encontrar el area que se encuentra debajo de los puntos obtenidos por una funcion o debajo de una curva como resultado de la funcion en una grafica.

por lo que vimos en clase, anterormente se usaba otro metodo para la obtencion del area debajo de la curva sin embargo sus resultados no eran tan exactos sini aproximados y utilizando este metodo de integral definida se logra obtener un resultado de las medidas del area exacto.

B) Lo que se me dificulto

                mas que nada en la parte de las fracciones porque aun se me complica el uso de la calculadora cientifica y el como ingresar esos valores en ella.

fuera de ello solo seguir revisando bien el acomodo de toda la ecuacion que se vaya generando como resultado para posteriormente no tener ningun problema con la ley de los signos al momenrto de sumar o restar.

2. Conocimiento consultado.

La integral definida generaliza el concepto de área bajo una curva. Eliminamos los requisitos de que 𝑓(𝑥)$f\left(x\right)$ sea continua y no negativa, y definimos la integral definida como sigue.

Definición

Si 𝑓(𝑥)$f\left(x\right)$ es una función definida en un intervalo [𝑎,𝑏],$\left[a,b\right],$ la integral definida de f de a a b viene dada por

∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥=lím𝑛→∞∑𝑖=1𝑛𝑓(𝑥∗𝑖)Δ𝑥,$${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}=\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \text{lím}}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f\left(x_i^{*}\right)\text{Δ}x},$$

(5.8)

siempre que exista el límite. Si este límite existe, la función 𝑓(𝑥)$f\left(x\right)$ se dice que es integrable en [𝑎,𝑏],$\left[a,b\right],$ o que es una función integrable.

Evaluar las integrales definidas de esta manera puede ser bastante tedioso debido a la complejidad de los cálculos. Más adelante en este capítulo desarrollaremos técnicas para evaluar integrales definidas sin tomar límites de las sumas de Riemann. Sin embargo, por ahora podemos confiar en el hecho de que las integrales definidas representan el área bajo la curva, y podemos evaluar las integrales definidas utilizando fórmulas geométricas para calcular esa área. Hacemos esto para confirmar que las integrales definidas representan en efecto áreas, de modo que podamos discutir qué hacer en el caso de una curva de una función que cae por debajo del eje x.

El área y la integral definida

Cuando definimos la integral definida, eliminamos el requisito de que 𝑓(𝑥)$f\left(x\right)$ sea no negativo. Pero ¿cómo interpretamos "el área bajo la curva" cuando 𝑓(𝑥)$f\left(x\right)$ es negativo?

Área neta señalada

Volvamos a la suma de Riemann. Consideremos, por ejemplo, la función 𝑓(𝑥)=2−2𝑥2$f\left(x\right)=2-2x^2$ (que se muestra en la Figura 5.17) en el intervalo [0,2].$\left[0,2\right].$ Utilice 𝑛=8$n=8$ y elegir {𝑥∗𝑖}$\{x_i^{*}\text{}}$ como punto del extremo izquierdo de cada intervalo. Construya un rectángulo en cada subintervalo de altura 𝑓(𝑥∗𝑖)$f\left(x_i^{*}\right)$ y de anchura Δx. Cuando 𝑓(𝑥∗𝑖)$f\left(x_i^{*}\right)$ es positivo, el producto 𝑓(𝑥∗𝑖)Δ𝑥$f\left(x_i^{*}\right)\text{Δ}x$ representa el área del rectángulo, igual que antes. Cuando 𝑓(𝑥∗𝑖)$f\left(x_i^{*}\right)$ es negativo, sin embargo, el producto 𝑓(𝑥∗𝑖)Δ𝑥$f\left(x_i^{*}\right)\text{Δ}x$ representa el negativo del área del rectángulo. La suma de Riemann se convierte entonces en

∑𝑖=18𝑓(𝑥∗𝑖)Δ𝑥=(Área de los rectángulos sobre el eje𝑥)−(Área de los rectángulos por debajo del eje𝑥)$${\displaystyle \sum _{i=1}^{8}f\left(x_i^{*}\right)\text{Δ}x}=\left(\text{Área de los rectángulos sobre el eje}x\right)-\left(\text{Área de los rectángulos por debajo del eje}x\right)$$

Figura 5.17 Para una función que es parcialmente negativa, la suma de Riemann es el área de los rectángulos por encima del eje x menos el área de los rectángulos por debajo del eje x.

Si tomamos el límite a medida que 𝑛→∞,$n\to \infty ,$ la suma de Riemann se aproxima al área entre la curva por encima del eje x y el eje x, menos el área entre la curva por debajo del eje x y el eje x, como se muestra en la Figura 5.18. Entonces,

∫20𝑓(𝑥)𝑑𝑥=lím𝑛→∞∑𝑖=1𝑛𝑓(𝑐𝑖)Δ𝑥=𝐴1−𝐴2.$$\begin{array}{cc}{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)dx}\hfill & =\underset{n\to \infty }{\text{lím}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f\left(c_i\right)\text{Δ}x}\hfill \\ & =A_1-A_2.\hfill \end{array}$$

La cantidad 𝐴1−𝐴2$A_1-A_2$ se denomina área neta señalada.

Figura 5.18 En el límite, la integral definida es igual al área A1 menos el área A2, o el área neta señalada.

Observe que el área neta señalada puede ser positiva, negativa o cero. Si el área sobre el eje x es mayor, el área neta señalada es positiva. Si el área bajo el eje x es mayor, el área neta señalada es negativa. Si las áreas por encima y por debajo del eje x son iguales, el área neta señalada es cero.

Área total

Una aplicación de la integral definida es hallar el desplazamiento cuando se da una función de velocidad. Si los valores de 𝑣(𝑡)$v\left(t\right)$ represente la velocidad de un objeto en función del tiempo, donde el área bajo la curva nos dice lo lejos que está el objeto de su posición original. Esta es una aplicación muy importante de la integral definida, y más adelante en el capítulo la examinamos con más detalle. Por ahora, solo vamos a ver algunos aspectos básicos para tener una idea de cómo funciona esto al estudiar las velocidades constantes.

Cuando la velocidad es una constante, el área bajo la curva es simplemente la velocidad por el tiempo. Esta idea es bastante conocida. Si un automóvil se aleja de su posición inicial en línea recta a una velocidad de 70 mph durante 2 horas, entonces se aleja 140 mi de su posición original (Figura 5.20). Utilizando la notación integral, tenemos

∫2070𝑑𝑡=140.$${\displaystyle {\int }_0^{2}70dt}=140.$$

Figura 5.20 El área bajo la curva 𝑣(𝑡)=75$v\left(t\right)=75$ nos indica a qué distancia se encuentra el automóvil desde su punto de partida en un momento dado.

En el contexto del desplazamiento, el área neta señalada nos permite tener en cuenta la dirección. Si un automóvil viaja en línea recta hacia el norte a una velocidad de 60 mph durante 2 horas, se encuentra a 120 millas al norte de su posición inicial. Si el automóvil da la vuelta y viaja hacia el sur a una velocidad de 40 mph durante 3 horas, volverá a su posición inicial (Figura 5.21). De nuevo, utilizando la notación integral, tenemos

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle {\int }_0^{2}60dt}+{\displaystyle {\int }_2^5\mathrm{-40}dt}\hfill & =120-120\hfill \\ & =\mathrm{0,}\hfill \end{array}$$

En este caso el desplazamiento es cero.

Figura 5.21 El área por encima del eje y el área por debajo del eje son iguales, por lo que el área neta señalada es cero.

Supongamos que queremos saber qué distancia recorre el automóvil en total, sin importar su dirección. En este caso, queremos conocer el área entre la curva y el eje x, independientemente de que esa área esté por encima o por debajo del eje. Esto se denomina el área total.

Gráficamente, es más fácil pensar en calcular el área total sumando las áreas por encima del eje y las áreas por debajo del eje (en vez de restar las áreas por debajo del eje, como hicimos con el área neta señalada). Para lograrlo matemáticamente, utilizamos la función de valor absoluto. Por lo tanto, la distancia total recorrida por el automóvil es

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle {\int }_0^2\left|60\right|dt}+{\displaystyle {\int }_2^5\left|\mathrm{–40}\right|dt}\hfill & ={\displaystyle {\int }_0^{2}60dt}+{\displaystyle {\int }_2^{5}40dt}\hfill \\ & =120+120\hfill \\ & =240.\hfill \end{array}$$

3.- Imagen

       

                             

4. Videos

5.- Referencias

Conocimiento consultado: La integral definica

            https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/5-2-la-integral-definida

Imagenes:

                 https://www.hiru.eus/es/matematicas/la-integral-definida